Tema 1: Las matemáticas de la Termodinámica

Esquema del tema

1.1 Introducción y objetivos

Este tema reúne las herramientas matemáticas que se emplearán de manera recurrente en la asignatura de Termodinámica.

Repasaremos las propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas, los fundamentos del cálculo diferencial e integral y los conceptos de diferencial para funciones de una y de varias variables. El objetivo no es desarrollar un curso completo de cálculo, sino disponer de un lenguaje preciso para seguir las deducciones y los teoremas termodinámicos.

Al terminar el tema deberías poder:

• aplicar las propiedades de la función exponencial;
• aplicar las propiedades de los logaritmos;
• explicar el origen de la definición del número $𝑒$;
• calcular las derivadas de las funciones más habituales en Termodinámica;
• distinguir entre integral indefinida e integral definida;
• interpretar la diferencial de una función de una variable;
• interpretar la diferencial de una función de varias variables.

1.2 Función exponencial

Las potencias y las funciones exponenciales aparecen de forma constante en Matemáticas y en Física.

Las propiedades fundamentales de la función exponencial son:

• El producto de potencias de la misma base suma los exponentes:

  $${𝑎}^{𝑥}\cdot {𝑎}^{𝑦}={𝑎}^{𝑥+𝑦}.$$

• Una potencia elevada a otra potencia multiplica los exponentes:

  $${\left({𝑎}^{𝑥}\right)}^{𝑦}={𝑎}^{𝑥𝑦}.$$

• La potencia de un producto es el producto de las potencias:

  $${\left(𝑎𝑏\right)}^{𝑥}={𝑎}^{𝑥}{𝑏}^{𝑥}.$$

• Un exponente negativo produce la potencia inversa:

  $${𝑎}^{-𝑥}=\frac{1}{{𝑎}^{𝑥}}.$$

• El cociente de potencias de la misma base resta los exponentes:

  $$\frac{{𝑎}^{𝑥}}{{𝑎}^{𝑦}}={𝑎}^{𝑥-𝑦}.$$

• Toda base no nula elevada a cero vale uno. En efecto, aplicando Ecuación 6:

  $$\frac{{𝑎}^{𝑥}}{{𝑎}^{𝑥}}=1={𝑎}^{𝑥-𝑥}={𝑎}^0.$$

1.3 Logaritmos

La función logaritmo permite determinar el exponente cuando se conocen la base y el valor de la potencia.

De la definición se deducen las propiedades siguientes:

• No existe el logaritmo real de base negativa, de un número negativo ni de cero.

• El logaritmo de uno es cero:

  $${log}_{𝑎}1=0\iff {𝑎}^0=1.$$

• El logaritmo de una potencia de la base recupera el exponente:

  $${log}_{𝑎}{𝑎}^{𝑥}=𝑥.$$

• El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos:

  $${log}_{𝑎}\left(𝑚𝑛\right)={log}_{𝑎}𝑚+{log}_{𝑎}𝑛.$$

  Para demostrarlo, escribimos $𝑚={𝑎}^{𝑥}$ y $𝑛={𝑎}^{𝑦}$. Entonces, por Ecuación 2:

  $${log}_{𝑎}\left(𝑚𝑛\right)={log}_{𝑎}\left({𝑎}^{𝑥}{𝑎}^{𝑦}\right)={log}_{𝑎}{𝑎}^{𝑥+𝑦}=𝑥+𝑦={log}_{𝑎}𝑚+{log}_{𝑎}𝑛.$$

• El logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos:

  $${log}_{𝑎}\frac{𝑚}{𝑛}={log}_{𝑎}𝑚-{log}_{𝑎}𝑛.$$

  La demostración es análoga a la anterior, utilizando Ecuación 6.

• El logaritmo de una potencia multiplica el logaritmo por el exponente:

  $${log}_{𝑎}{𝑚}^{𝑛}=𝑛{log}_{𝑎}𝑚.$$

• El cambio de base permite expresar un logaritmo mediante otra base $𝑏$:

  $${log}_{𝑎}𝑚=\frac{{log}_{𝑏}𝑚}{{log}_{𝑏}𝑎}.$$

  Si ${log}_{𝑎}𝑚=𝑛$, entonces ${𝑎}^{𝑛}=𝑚$. Al tomar logaritmos en base $𝑏$:

  $${log}_{𝑏}{𝑎}^{𝑛}={log}_{𝑏}𝑚,$$

  y, aplicando Ecuación 14:

  $$𝑛{log}_{𝑏}𝑎={log}_{𝑏}𝑚.$$

  Al despejar $𝑛$ se obtiene Ecuación 15.

1.4 El número $𝑒$

El número $𝑒$ es irracional: tiene infinitas cifras decimales no periódicas. Su importancia es comparable a la de $𝜋$ y aparece con frecuencia en las leyes físicas, en particular como base de funciones exponenciales. Se define mediante el límite

Para $𝑛=10$ se obtiene aproximadamente $2.59374246$; para $𝑛=100$, $2.704813829$; y para $𝑛=1000$, $2.716923932$. Al aumentar $𝑛$, la sucesión se aproxima a

1.5 Derivada de una función de una variable

Para medir la tasa de variación de una función en un punto, se divide la variación de la función entre la variación de la variable. El límite de ese cociente cuando ambos puntos se aproximan define la derivada. Geométricamente, la derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica.

La derivada de $𝑓\left(𝑥\right)$ en el punto $𝑎$, representada por ${𝑓}^{\prime }\left(𝑎\right)$ o por $\frac{𝑑𝑓\left(𝑎\right)}{𝑑𝑥}$, es

Si se introduce el incremento $ℎ=𝑥-𝑎$, de modo que $𝑥=𝑎+ℎ$, la definición equivalente es

La función que asigna a cada punto la derivada de $𝑓$ se denomina función derivada. A continuación se recogen las reglas que se utilizarán con mayor frecuencia.

Derivada de una constante

La derivada de una constante $𝑐$ es cero:

El resultado se obtiene directamente al aplicar Ecuación 20.

Derivada del producto de una constante y una función

La derivada del producto de una constante $𝑐$ por una función es

Derivada de una suma

La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

Derivada de un producto

La demostración comienza con la definición:

En el numerador se suma y se resta $𝑓\left(𝑥+ℎ\right)𝑔\left(𝑥\right)$:

Al agrupar términos y hacer $ℎ\to 0$:

Los dos límites son derivadas, por lo que se recupera Ecuación 25.

Derivada de una potencia

Para cualquier exponente real $𝑛$ para el que la expresión esté definida,

Derivada de una función compuesta

La composición de dos funciones se define como $\left(𝑓\circ 𝑔\right)\left(𝑥\right)=𝑓\left(𝑔\left(𝑥\right)\right)$: primero actúa $𝑔$ sobre $𝑥$ y después actúa $𝑓$ sobre el resultado.

Por definición,

Si $𝑘=𝑔\left(𝑥+ℎ\right)-𝑔\left(𝑥\right)$, entonces $𝑘\to 0$ cuando $ℎ\to 0$. Multiplicando y dividiendo por $𝑘$:

Derivada de funciones del tipo $\frac{1}{𝑓\left(𝑥\right)}$

La demostración mediante la definición es

Derivada del logaritmo

Partimos de la definición de derivada:

Aplicando Ecuación 13 y Ecuación 14:

La definición del número $𝑒$ permite escribir

Derivada de la función exponencial

Sea $𝑓\left(𝑥\right)={𝑒}^{𝑥}$.

Como $ln{𝑒}^{𝑥}=𝑥$, al derivar ambos miembros y utilizar Ecuación 41 se obtiene

de donde se deduce Ecuación 42.

1.6 Derivadas sucesivas

Si una función $𝑓\left(𝑥\right)$ es derivable, su función derivada puede ser también derivable. Al derivar dos veces se obtiene la derivada segunda:

El procedimiento puede repetirse para definir la derivada tercera y, en general, la derivada de orden $𝑛$.

1.7 Diferencial

Si una función es derivable en un punto, entonces

Para valores pequeños de $ℎ$ puede escribirse

donde $𝜀$ depende de $ℎ$ y satisface

Al multiplicar Ecuación 47 por $ℎ$:

El primer término proporciona la aproximación lineal del incremento. La diferencial de $𝑦=𝑓\left(𝑥\right)$ se define por

Para la función identidad $𝑓\left(𝑥\right)=𝑥$, cuya derivada es uno,

Por ello, Ecuación 50 se escribe habitualmente como

Esta expresión explica la notación de Leibniz:

Aunque una derivada no es, en sentido elemental, un cociente ordinario, esta notación permite manipular diferenciales de forma útil siempre que se respeten las reglas del cálculo.

1.8 Aplicaciones de la derivada

La derivada de una función en un punto es la pendiente de su recta tangente. Por tanto:

• si $\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}>0$, la función es creciente;
• si $\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}<0$, la función es decreciente;
• si $\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=0$, el punto es estacionario y puede corresponder a un máximo, un mínimo u otro tipo de punto crítico.

La segunda derivada describe cómo varía la pendiente. Con la convención matemática habitual:

• si $\frac{{𝑑}^2𝑦}{𝑑{𝑥}^2}<0$, la función es cóncava y un punto estacionario es un máximo local;
• si $\frac{{𝑑}^2𝑦}{𝑑{𝑥}^2}>0$, la función es convexa y un punto estacionario es un mínimo local.

1.9 Integral indefinida

El cálculo de primitivas es la operación inversa de la derivación.

Si $𝐹\left(𝑥\right)$ es una primitiva de $𝑓\left(𝑥\right)$, entonces $𝐹\left(𝑥\right)+𝐶$ también lo es para cualquier constante $𝐶$, porque la derivada de una constante es cero.

Como integrar es la operación inversa de derivar, muchas integrales se obtienen directamente a partir de las reglas de derivación.

Las propiedades básicas de la integral indefinida reflejan su linealidad.

Un método especialmente útil es la integración por partes.

La fórmula se deduce al diferenciar el producto:

Después de integrar,

y como $\int 𝑑\left(𝑢𝑣\right)=𝑢𝑣$, al reordenar se obtiene Ecuación 60.

1.10 Integrales definidas

La integral definida permite calcular acumulaciones y, bajo determinadas condiciones, áreas con signo.

Si $𝑓\left(𝑥\right)\ge 0$, la integral representa el área comprendida entre la gráfica, el eje horizontal y las rectas $𝑥=𝑎$ y $𝑥=𝑏$. La suma de Riemann aproxima esa región mediante rectángulos de altura $𝑓\left({𝑐}_{𝑖}\right)$ y base ${𝑥}_{𝑖}-{𝑥}_{𝑖-1}$.

La relación fundamental entre la integral definida y las primitivas se obtiene mediante la función área.

Para justificarlo, consideremos un incremento $\mathrm{\Delta }𝑥>0$. Si $𝑓$ es creciente en un entorno de ${𝑥}_0$, el incremento de área queda acotado por

Al dividir por $\mathrm{\Delta }𝑥$ y tomar el límite $\mathrm{\Delta }𝑥\to 0$:

El miembro izquierdo es la derivada de $𝑆$, lo que demuestra Ecuación 66. El mismo resultado se obtiene para una función continua sin suponer monotonía mediante cotas locales.

Por el teorema de la función área, $𝑆\left(𝑥\right)={\int }_{𝑎}^{𝑥}𝑓\left(𝑡\right)𝑑𝑡$ es una primitiva de $𝑓$, de modo que

Al hacer ${𝑥}_0=𝑎$:

por lo que $𝐶=-𝐹\left(𝑎\right)$ y

Tomando ${𝑥}_0=𝑏$ se obtiene Ecuación 69.

1.11 Derivada de una función de varias variables

Sea $𝑓:{ℝ}^{𝑛}\to ℝ$. La función recibe vectores de un espacio de $𝑛$ dimensiones y devuelve números reales. En este contexto la variación depende de la dirección elegida.

Al elegir los vectores ${𝑒}_{𝑖}$ de la base canónica se obtienen las derivadas parciales respecto de las coordenadas ${𝑥}_{𝑖}$:

Las derivadas parciales siguen las mismas reglas que las derivadas de una variable: se deriva respecto de la variable seleccionada y las restantes se tratan como constantes.

Para una función real de dos variables $𝑓\left(𝑥,𝑦\right)$,

y

1.12 Diferencial de una función de dos variables

La diferencial total de una función de dos variables aparecerá repetidamente en Termodinámica y se generaliza de manera natural a más variables.

Consideremos el incremento

Al sumar y restar $𝑓\left(𝑥,𝑦+\mathrm{\Delta }𝑦\right)$:

Por el teorema del valor medio, existen puntos intermedios en los que cada sumando puede expresarse mediante una derivada parcial. Para incrementos pequeños,

y

con $𝜉$ entre $𝑥$ y $𝑥+\mathrm{\Delta }𝑥$, y $𝜂$ entre $𝑦$ y $𝑦+\mathrm{\Delta }𝑦$. Al hacer tender ambos incrementos a cero y sustituirlos por las diferenciales, se obtiene Ecuación 79.

1.13 Cuaderno de ejercicios

Los ejercicios siguientes permiten comprobar las reglas de derivación, integración y cálculo de diferenciales presentadas en el tema.